PRODUIT SCALAIRE
Définitions
Le produit scalaire de deux vecteurs v1 et v2,
dans un repère orthonormé, est le nombre réel
noté v1.v2, défini par:
Propriétés
Symétrie:
v1 . v2 = v2 . v1
Multiplication par un nombre:
k * (v1 . v2) = (k * v1) . v2 = v1 . (k * v2)
Distributivite par rapport a la somme vectorielle:
v1 . (v2 + v3) = v1 . v2 + v1 . v3
Module d´un vecteur
Le produit scalaire d´un vecteur par lui-même est un nombre
positif ou nul dont la racine carrée est appelée le module de
ce vecteur:
Le vecteur neutre de l´addition, ou vecteur nul, a pour module 0:
Vecteur unitaire
Un vecteur est dit unitaire si son module vaut 1. Exemple:
Un vecteur divisé par son module est unitaire:
Interprétation géométrique
Cosinus de l´angle de deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de
leurs modules par le cosinus de leur angle:
En particulier, le produit scalaire de deux vecteurs unitaires
est égal au cosinus de leur angle.
Projection d´un vecteur sur un autre
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de la
longueur de l´un par la mesure algébrique de la projection de l´autre
sur lui.
Si l´angle (OA,OB) est inférieur à PI/2 le produit scalaire est
positif, si cet angle est supérieur à PI/2 le produit scalaire est negatif
et si cet angle est égal à PI/2 le produit scalaire est nul.
Vecteurs orthogonaux
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux il faut et il suffit que
leur produit scalaire soit nul.
Applications
Distance de deux points
La distance de deux points A(xa,ya,za) et B(xb,yb,zb) est le module
du vecteur AB de composantes (xb-xa), (yb-ya) et (zb-za), donc:
distance(A,B) = sqrt((xb-xa)*(xb-xa) + (yb-ya)*(yb-ya) + (zb-za)*(zb-za))
En particulier la distance du point M(x,y,z) a l´origine est:
distance(M,O) = sqrt(x * x + y * y + z * z)
Vecteur orthogonal à un vecteur donné
Soient 2 vecteurs liés v1 et v2 de même origine O formant un plan,
trouver un vecteur v3 d´origine O dans ce plan et orthogonal à v2:
Puisque v3 est dans le plan défini par v1 et v2 il peut
s´exprimer comme combinaison linéaire de v1 et v2, il existe donc k1
et k2 tels que:
v3 = k1*v1 + k2*v2
Puisque v3 est orthogonal à v2, leur produit scalaire est nul:
v3.v2 = 0, soit: (k1*v1 + k2*v2).v2 = 0
k1*(v1.v2) + k2*(v2.v2) = 0, soit:
k1*(v1.v2) + k2*||v2||2 = 0 d´où
k2/k1 = -(v1.v2)/||v2||2
Prenons k1=1 d´ou: k2 = -(v1.v2)/||v2||2 et donc:
v3 = v1 - v2*(v1.v2)/||v2||2
Vecteur symétrique d´un autre
Soient deux vecteurs unitaires de même origine N et L, trouver R
symétrique de L par rapport à N: Pour des raisons de symétrie la
somme de L et de R est collinéaire à N, il existe donc k tel que:
L + R = k * N
Mais le module k de cette somme est le double de la projection de
L sur N donc, puisqu´il s´agit de vecteurs unitaires:
k = 2 * L . N, donc:
L + R = (2 * L . N) * N, d´ou: R = (2 * L . N) * N - L
Application à la synthèse:
Si N est la normale à une surface en M, si L est dirigé vers une
lumière ponctuelle, alors R est la direction spéculaire.
Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur
Soit le point A(xa,ya,za) et le vecteur N(nx,ny,nz). Pour qu´un point
M(x,y,z) appartienne au plan passant par A et orthogonal à N
il faut et il suffit que AM soit orthogonal à N c´est à dire
que le produit scalaire de AM par N soit nul. D´où l´équation
de ce plan:
L´équation d´un plan est du premier degré en x, y et z.
Réciproquement
tout équation du premier degré en x, y et z est celle d´un plan.
En synthèse on stocke l´équation du plan d´une facette
triangulaire sous la forme des 4 nombres (u,v,w,h). Une telle équation
peut être utilisée par exemple pour trouver l´intersection d´un
rayon lumineux avec la facette (dans l´algorithme du "lancer de rayon"):
Intersection d´une droite avec un plan
Le plan est donné par le point A et le vecteur normal
N. La droite est donnée par un point B et un
vecteur directeur d. Un point M de la droite s´écrit:
